Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 7$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $6$ y $3 x + 21$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 x + 21}]$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 21}]$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $3$ de $21$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 3 (7)}]$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (7)$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Paso 3.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x + 7}]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x + 7}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{1}{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x + 7$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7]))$

Paso 3.7

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0))$

Paso 3.8

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1)$

Paso 3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2})$

Paso 3.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 {(x + 7)}^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{x - x - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Resta $7$ de $0$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 2}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{x^{2}} - \frac{2}{{(x + 7)}^{2}}$